智力题 – 第二部分

总喜欢智力题,智力题其实都是一种思维方式,总可以举一反三,悟出一些道理。

我还喜欢两个,是关于极限的。

一个是小时候看到的。很简单:

0.999999999….(9无限循环)和 1 两个数,哪一个更大?

第二道题也是我很喜欢的一道极限的题:

龟兔赛跑,兔子速度是乌龟的两倍。乌龟比兔子领先一米,一起起跑,却有种方法可以证明兔子永远追不上乌龟:

当兔子到了乌龟出发的地方,乌龟会前进1/2米;而当兔子到达1/2米的时候,乌龟又会前进1/4米。。。。总之,可以证明,只要兔子到达乌龟的前一个时刻所在的点,乌龟一定会前进刚才过去的时间段里面兔子前进距离的1/2。是否兔子永远追不上乌龟呢?

这和以前在《宏观的思考问题》里面提及的想法有些类似,人的脑子是有问题,除非经过特殊的极限相关的训练,总把极限问题当作普通算术问题。在做事情的时候,看了细节,忽视了整体,就会得出兔子追不上乌龟的荒谬结论。

《智力题 – 第二部分》上的28个想法

  1. 第一个,一样大,这个可以用等比级数加出来
    第二个是经典的悖论了,问题出在所讨论的是限制在时间轴上某一点之前的事件,而没有讨论之后的事件

  2. 对于第二小题,其实和第一小题是同一个道理。
    因为一个重要的因素,速度的值是未知的,可以很小也可以很大。
    当速度值很大时,可以考虑在第一米不到就超越了。速度无穷小,在无穷大处超越。

  3. 第一题不需要等比数列加。小学上过奥数的同学,老师都教过循环小数都可以写成分数。0.abcabcabc…就是abc/999
    所以0.99999…就是9/9,就是1

    其实最神奇的我觉得是1/7,2/7,3/7…这组数。一直不知道这完全是巧合,还是有什么数学原理在里面

  4. 1/3与0.3333333(无限循环)的大小大家都知,而3*(1/3)与3*0.3333333(无限循环)的结果也可知了吧.
    龟兔的问题放到生活中,不在问题的圈内转,结果也就出来了.哪有说后面的人就一定跑不过后面的人之说….

  5. 第一题,放在现实世界中,现实世界根本没有“无限”这个数,0.9999……后面可以放上一千个、一万个9,但永远不可能达到1.0。

    若放在数学中,1.0 – 0.99999 = 0.00001 (无限缩小)。就要看无限缩小是否等于零了。这个是定义问题。

    第二题,其实反过来描述,乌龟会前进1/2米,兔子就前进了1米;在过了一段时间,乌龟会前进1/4米,兔子就前进了1/2米……依次类推,便可以证明兔子终究可以追上乌龟。

    这个数学题的解法,就是把描述的顺序倒反过来看而已。这样便可以不需要通过计算兔子和乌龟的交叉点,便能够证明兔子可以追得上乌龟。

  6. 第二个问题与第一个问题一样,
    证明方式是对的,结果错了,
    如果o.99999(无限)永远小于1就没法追过,
    但因为o.99999(无限)就是为1 ,所以是可以超过的。

  7. 我觉得现实生活中 1 是不存在的,
    而无限是存在的,0.999999(无限)是存在的,
    但为了表示方便,就称之为1

  8. 第一个命题不讨论

    第二个命题所谓的”证明方法”存在缺陷,这个证明不成立

    1.命题要”证明兔子永远追不上乌龟”,在时间上是无限制的

    2.证明方法中”当兔子到了乌龟出发的地方,乌龟会前进1/2米;而当兔子到达1/2米的时候,乌龟又会前进1/4米。。。。”这种情况只发生在 “兔子-乌龟/1米” 的时间里,这是用 “兔子-乌龟/1米的时间里兔子追不上乌龟” 来替换成 “兔子永远追不上乌龟” ,是一种偷换概念,是伪证明.

  9. 逛到老大这里来了,签名留念吧。

    1、1肯定比0.999999999999999(到永远)大,简单人家1屁股后没有跟什么东西但人家还是1,0.99999999999999(到永远)屁股后再多东西可它领头的还是个零。

    2、兔子追不得上乌龟,取决于兔子,因为兔子是跳跃式前进的!不过乌龟一定认为兔子不会超过它,因为它是以它自己的思维为中心的,他只会觉得兔子可以无穷近的接近它,却绝对无法超越它。

    基本明白老大的意思了,对我们而言,跑在我们前面的,我们不能满足于做0.999999999999999(到永远),因为对于1而言0.999999999999999(到永远)是没有价值的,我们要做1.00000000(到永远)1,这样我们才能算得上成功。而对于还在我们后面的,我们不能做乌龟,不能以我们速度对衡量对手,而应该客观地去认清每一个兔子,不被兔子超过的唯一办法就是比它还快。。

  10.   伴随着十七世纪末牛顿和莱布尼兹发现微积分而发生的激烈争论,被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看,这次危机的发生带有必然性。

      这次危机的萌芽出现在大约公元前450年,埃利亚数学家芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾,提出了关于时空的有限与无限的4个悖论。

      芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景,不一定是专门针对数学的,但是它们在数学王国中却激起了一场轩然大波。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾,但他们无法解决这些矛盾。其后果是:希腊证明几何中从此就排除了无穷小。

      经过许多人多年的努力,终于在17世纪晚期,形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。 他们的功绩主要在于:把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法;有明确的计算步骤。微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性,微积分成为解决问题的重要工具。同时,关于微积分基础的问题也越来越严重。

     求速度为例,瞬时速度是 ,当 趋近于零时的值。 是零,是很小的量,还是什么东西?无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,造成第二次动摇数学理论基础的危机。

      无穷小量究竟是不是零?两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释:1669年说它是一种常量;1671年又说它是一个趋于零的变量;1676年又说它是“两个正在消逝的量的最终比”。但是,他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量。但是,他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。
    …..

      直到19世纪20年代,一些数学家才开始关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西 、狄里赫利等人的工作开始,到魏尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义。阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发,认识到函数不一定要有解析表达式;他抓住极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量,无穷小量是以零为极限的变量;并且定义了导数和积分。狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上,魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方,给出现在通用的极限的ε-δ定义,连续的定义,并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

      19世纪70年代初,魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理,从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。

  11. 真正理解无穷和极限,才是人类真正认识实数的起始。
    这个问题我觉得本质上也是有理数和实数的区别

  12. 设乌龟速度为a,追赶时间为x,x=1/a。

    兔子怎么可能是乌龟速度的两倍?乌龟打算跑多快?兔子是否愿意一直保持乌龟两倍的速度?它们谁先累?它们谁的命更长?它们是否没跑歪?是普通乌龟兔子还是超级快乌龟兔子?。。。。。。哈哈~~

  13. 按照我对中国文化的理解,这道题不在于无穷小和无穷大,而在于,能使事物无穷小的力量需要达到何种程度才能使数学上的无穷小得以实现。打个比方。将一张纸对折一下会增厚一层,要是对折几百下,就会得出一个很厚的高度。问题是,什么力量可以作到这一点。这才是解答这类问题的关键。我隐约觉得数学世界与真实的物质世界存在一个极微小的误差。再打个最简单的比方,有些数你把它们相乘可以得到一个整数。但是反过来作除法的时候,却得到的是约等于的数。我甚至觉得圆周率的求法是否正确。如果造航天飞机是个精密的过程,那么,它的精度是保留小数点后面的第几位呢?我的数学水平只有小学的水平。只是提个看法。或许真像中国古人认为的那样,穷必无极,物极必反。这还可以联系到黑洞吧。可能,这是发现第三种力量的关键所在。一个正力,一个反力,再加上一个相对力。

  14. 放在人文角度来讲,这道题根日常人的生活有点相距甚远了吧。
    这是用来给有头脑的人来思考的问题。
    而不是一般的五脏之腹。

  15. 两个数a, b, 若a比b 大,那么一定存在数c, 使得cb, 但是在0.9999….和1之间,不存在树c.

  16. 两个数a, b, 若a比b 大,那么一定存在数c, 使得c大于a,且c小于b, 但是在0.9999….和1之间,不存在树c.

  17. 第2个问题很有趣, 高中时候被人问起这个问题, 我还真迷糊了….
    据说, 这导致了后来”微积分”的产生.

  18. 第二个问题的核心,我以为,是兔子追乌龟所需时间的问题。兔子追赶的花的时间可以按照悖论的方式无限分割,悖论给人的印象是兔子需要逐一遍历这些时间区间,于是总也遍历不完。但在现实生活中,我们并不会以这样的方式感受时间的流逝,有限长的时间总会流逝。由于兔子追乌龟所需的总时间,虽然可以无限分割,但是区间的和为有限值,所以一定会追上。
    芝诺在通常意义上的“时间”之外,又本能地创造了一个“第二时间”,而且认为在有限长的“第二时间”内,我们不可能遍历完已经被无限分割的有限“时间”。他本能地将两个时间等同起来,得出了“永远”追不上得悖论。
    其实,这和讨论“时间流逝的速度”时产生的问题是一样的。

  19. 发下自己的看法,实际上这绝对取决与它们的时速,我们暂时定义乌龟为A/小时,那兔子就是2A/小时。
    起步乌龟比兔子领先一米。假设他们行走了B小时,设定得出B小时后兔子跑了2A×B的距离为X,乌龟B小时后跑了A×B为Y。兔子的X=2A×B 乌龟的Y=A×B 那得出X-1=Y的时候为兔子追平了乌龟。
    也就是说 2A×B-1=A×B的时候兔子赶上了乌龟 得出 (2A×B-1)/A×B=1 在推出2-1=1/A×B
    得出A×B=1 的时候兔子赶上乌龟(以上单位为米/小时)A×B大于1的时候兔子超过乌龟小于1就是兔子还没超过乌龟。

  20. 第2题到最后就变成求汇合点了, 因为如此下去, 兔子和乌龟的位置无限接近2米, 它们之间的距离接近0. 因为是先计算兔子的路程, 并且兔子总是走到乌龟上一次走过的地方, 这计算方式中原本就没有考虑到兔子追过乌龟的可能性, 理所当然兔子追不上.

  21. 而且为什么兔子每次只能走乌龟上个回合走过的路程, 只要兔子当回合计划走的路程大于乌龟上回合走的就超过了。 只走乌龟上回合的路程的话, 就算速度快一万倍也只是无限接近平行

  22. 既然上一个问题也回应,这个也作答吧。刚去WC的时候想了一下。
    这两个问题其实是同一个问题,也即极限的问题。
    我考虑了另一个极限问题:WJC同学从A走到B,假设A-B长10米,现在他将首先到达5米的位置,然后是2.5米,然后1.25米,0.625……但发现依次下去,他永远到不了B。这个悖论使得WJC同学永远走不了10米;这还不是让人最沮丧的,它同时引出:因为WJC永远到不了B,而又无限接近B,结果,他停下来了。
    于是我立即想到相类似的小时候就想过的问题:二等分一根长1米的木棒为2段,然后继续分为4段,我们如果无限地分下去会发生什么? 有两种可能:因为有无限多个长度不为0的一小段,因此这根木棒是无限长的;另一种可能:因为每一段长度都无限接近于没有长度,因此这根木棒是不存在的。WJC将进一步推论:世界上的任何木棒都是无限长的但同时也是不存在的。
    ———
    其实后一个问题更能深入浅出地揭示这个哲学问题:每一小段木棒的长度和木小段的数量,这两个量如果我们去仔细考量他们的话会发现,他们是“互为相关的变量”。这个极小值的具体值无法度量,唯一度量方法是利用另一个极大值来确定。当2个值都无法确定的时候,我们发现他们存在一个确定关系,即: Min * Max = 1米。 因此,我们如果考量他们在某一时刻的值就会优雅地攻破这个悖论。
    同理,以上两个问题也迎刃而解。
    ———
    那么问题出在什么地方呢?我们一开始定义这2个不确定值的时候其实已经引入了一个确定他们某一时刻值的关系函数f,而这个f中包含着一个常量k。利用k和f的逻辑关系即可证明兔子很快就追上了乌龟,1=0.99999……,木棒都是有长度的。我们觉得荒谬的根源在于,我们忽略了自己一开始已经定义好的不变的东西和定义范围,而只关注于那些变化的东西不在我们的定义范围里会发生什么。
    殊不知,如果没有那个定义范围的话,那些不确定的变化的东西将不存在。

    现在,WJC可以去办公室上班了。
    ——————-
    小时候想的另一个很有意思的想法是这样的:
    一个红绿灯,用一个精确的时钟控制:红灯亮30秒,然后灭掉,同时绿灯亮前一次的一半的时间也就是15秒,然后绿灯灭,红灯再亮前一次的7秒半,依此往复,问:1分钟里,红灯和绿灯分别亮了多少次?1分钟的时候,亮的是红灯还是绿灯?

  23. 0.99999999999~*10=9.9999999999999~
    9.99999999999~-9=0.9999999999999

    10x-9=x
    x=1
    0.99999999999999=1

  24. 以前还不觉得中国的教育(尤其理工科)不是应试教育,看到这个评论似乎有点领悟。这大概是为什么新中国永远也出不来高斯这样的人的原因

    引用:

    第一题不需要等比数列加。小学上过奥数的同学,老师都教过循环小数都可以写成分数。0.abcabcabc…就是abc/999
    所以0.99999…就是9/9,就是1

    其实最神奇的我觉得是1/7,2/7,3/7…这组数。一直不知道这完全是巧合,还是有什么数学原理在里面

    Posted by: Miles Hsu on March 13, 2008 04:26 PM

  25. 多写了个“不”字,重来。

    以前还不觉得中国的教育(尤其理工科)不是应试教育,看到这个评论似乎有点领悟。这大概是为什么新中国永远也出不来高斯这样的人的原因

    引用:

    第一题不需要等比数列加。小学上过奥数的同学,老师都教过循环小数都可以写成分数。0.abcabcabc…就是abc/999
    所以0.99999…就是9/9,就是1

    其实最神奇的我觉得是1/7,2/7,3/7…这组数。一直不知道这完全是巧合,还是有什么数学原理在里面

    Posted by: Miles Hsu on March 13, 2008 04:26 PM

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