宏观的思考问题 – 第二部分

前几天贴了两个极限相关的问题。我从这种奇怪的问题里面学到的,和以前的“把大象放进冰箱”的问题一样,也是关于宏观和微观的区别。(我周围的人已经快被我的这些怪问题给逼疯了)

第一个问题:

0.9999….无限循环和1那个大?

它们两个数学上严格相等。证明方法五花八门,可以开个小型博览会。我常常采用的简单方法是:

1/3 = 0.3333….
1/3 * 3 = 0.333… * 3
1 = 0.999…

我喜欢更加严谨一点的方法:

x = 0.999…
10 x = 9.999…
10 x = 9 + 0.999…
10 x = 9 + x
9x = 9
x = 1
所以 0.999… = 1

还有很多像前面的评论者所说的,找不出任何一个比0.999…大但是比1小的数,所以他们一样大;或者按照0.999…等于循环位除以9的标准算法,也就是9/9。。。等等

其实这只是一个初步的极限问题,真正比较麻烦的是乌龟和兔子的问题。

龟兔赛跑,兔子速度是乌龟的两倍。乌龟比兔子领先一米,一起起跑,却有种方法可以证明兔子永远追不上乌龟:

当兔子到了乌龟出发的地方,乌龟会前进1/2米;而当兔子到达1/2米的时候,乌龟又会前进1/4米。。。。总之,可以证明,只要兔子到达乌龟的前一个时刻所在的点,乌龟一定会前进刚才过去的时间段里面兔子前进距离的1/2。是否兔子永远追不上乌龟呢?

从微观看来,兔子追乌龟的每一步都追不上的结论都是成立的,不仅如此,更要命的是,这个算式还是无限循环的。好似无限个追不上,结果就更加追不上了,或者说,无限个小数的加和真的成了无限大一样。

但如果换个角度来说,从宏观看这个问题,兔子怎么可能追不上乌龟呢?

如果我们看一下乌龟跑出去的1/2 + 1/4 + 1/8 + ….到底有多远,就恍然大悟了。

x = 1/2 + 1/4 + 1/8 + …
2 * x = 1 + ( 1/2 + 1/4 + 1/8 + … )
2x = 1 + ( x )
x = 1
所以 1/2 + 1/4 + 1/8 + .. = 1

也就是,无论乌龟有多少个这样的小步子,最终他跑出的不过1米。从宏观上看,兔子将在1米处在数学上严格的和乌龟到达同一个点,而不管这个过程中有多少“细节”。

关注微观还是宏观

我们常说,什么事情都是积少成多。但这个等式要看小的到底有多小。

在微观层面有很多难以回答的问题,难做得决定,在宏观上,都变得简单。日常的决定,从微观上看,在取舍之间很难判断,无论往左还是往右,都会对项目的结果有一些小的影响;但是如果退出100米来看,就会发现,就算整个项目都不做了,对于大局都没有什么影响,又为什么囿于一个又一个的细节,钻进牛角尖呢?

人的脑子思考问题,除非经过特别的训练(微积分是训练的一种),都是线性的。而世界的比例,就像提出的两个极限问题一样,总是让人无法理解。数学问题如是,决策的问题如是,人生的问题也如是。

对于生活,我们都知道它是由一点一滴的构成的。没有一个一个的时间段,就没有月,就没有年。但是真正重要的还是那些宏观题:2007年你在干些什么呢?2006年呢?从年的角度看问题,很多的细节还那么重要吗?或许重要的是,2007年一年干了什么,而不是哪一秒钟干了什么吧。

注一:周一,我和文峰庆祝我们结婚五周年。幸福的五年,谢谢文峰的陪伴。我最值得骄傲的就是我的文峰和逸凡,他们让我的每一分钟都幸福。

注二:这周每天晚上7点半到8点,以及第二天中午12点半到一点,我会出现在上海电视台国际频道ICS的《说东道西》访谈节目。2000年,第一次在中央台的一个新闻节目的一个小小的角落露了一张小脸儿,兴奋得不得了;而这两天有了长篇幅的访谈节目,却对媒体失去了兴趣。就好像1997年做个人主页,以为整个互联网的人都会知道自己,到现在知道自己永远都仅仅是无数的独特的个体的一员;而电视,也千万不要以为上了电视就会有些什么不同。今天,我晚上有约,就忘记了上电视这码事情;文峰参加公司的活动,晚上不回家吃饭;逸凡的外公外婆因为听不懂节目里的英文,在周一播出的时候就直接换到了中央台的《周恩来在重庆》,而小逸凡更是对电视里爸爸没有一点兴趣,安心的玩自己的玩具。这个世界,并没有因为自己在电视上的出现有任何变化,而实质上,的确没有变化,一丁点变化也没有。

《宏观的思考问题 – 第二部分》上的15个想法

  1. 关于这个,我认为本质上还是无穷小和零的问题。要理解这个,其实并不是一件容易的事。历史上也有很多争论。
    说回来还是因为缺一个定义,一个严格的定义。如果不严格定义极限,在讨论时始终容易出现某种“悖论”。

  2. 第一个问题实际上涉及到一个极限的悖论问题。事实上,对于无穷的小数,是不能这样简单的加减乘除的。

    第二个问题的原版是乌龟和传说种的阿基里斯

  3. 建硕兄,总能冷静而又发散的思考一些小问题,并将道理推而广之,向您学习。。。

  4. 看完这篇文章的第一个感觉,就是我们应该是同一类人呢,我愈发相信,人真的可以安思维方式再分类的,因为我也经常在思考这些貌似没什么大作用,可是一旦相通却可以豁达很多的问题呢
    文章前半部看起来挺有条理的,从微观到宏观,应用到生活的想法也是相当地有见地,但是应用到生活中的时候,例子不够典型,以至于我有点看不懂了,呵呵
    附:关于极限这个问题,其实是跟数学发展是分不开的呢,第二次数学革命就是关于极限引发的,而更加让人着迷的应该是第三次数学革命,那是关于悖论的,理发师悖论曾经让我想了很久,但是有天早上,我做了个梦之后,竟然貌似合理的解决了呢,而之后,我看到了一本书,对这个问题的认识更加深刻了呢,如果你近期有阅读计划的话,我推荐你也看看这本书哦
    书名是《神秘的怪圈—悖论趣话》,搜索下应该可以轻易找到的,风险性比艳照门要小得多,呵呵
    这个是我看的时候的网址,http://www.5xx.cn/data/25461/detail.php?thisid=1890,你会怕点击中毒吗?
    不过你还在思考极限,跟我想说的悖论问题好像有点不同呢,那就算我想歪了吧,哈哈

  5. “今天,我晚上有约,就忘记了上电视这码事情;文峰参加公司的活动,晚上不回家吃饭;逸凡的外公外婆因为听不懂节目里的英文,在周一播出的时候就直接换到了中央台的《周恩来在重庆》,而小逸凡更是对电视里爸爸没有一点兴趣,安心的玩自己的玩具。这个世界,并没有因为自己在电视上的出现有任何变化,而实质上,的确没有变化,一丁点变化也没有。” :)小逸凡太可爱了:)

  6. x = 0.999…
    10 x = 9.999…
    10 x = 9 + 0.999…
    10 x = 9 + x
    9x = 9
    x = 1
    所以 0.999… = 1

    这个证明方式,恐怕是有漏洞的,因为你必须证明,10 (0.999…) = 9 + 0.999…

    我们可以知道:

    10 (0.9) 不等于 9 + 0.9
    10 (0.99) 不等于 9 + 0.99
    10 (0.999) 不等于 9 + 0.999

    那么,为什么 10(0.999…) = 9 + 0.999… ?

    当然,我知道,推论者是认为说 0.999…后面有无穷个久,所以移一个小数点,不影响后面有多少个九。但这已经是用自己“定义”了正确,在推论上,是不可以的。

    所以,以上推论是定义问题,不是推论。以上推论要成立,必须先定义,无限大 = 无限大+1,又或者,无限小 = 0。

    否则的话,我可以反过来说:

    1 – 0.9 = 0.1
    1 – 0.99 = 0.01
    1 – 0.999 = 0.001
    1 – 0.999… = 0.00…1

    小小看法,有错的地方,请多多包涵!(^_^)

  7. 按照其证明方法来看,乌龟跑的距离越来越短1/2,1/4,1/8 …… 1/n ……
    乌龟的速度是一定的v,t=s/v,s=1/n,因此,当n趋于无穷大时,s趋于0,所以t=s/v两边同时取极限t=0
    所以这个看起来让人觉得迷惑的证明方法实际是让乌龟走的路程越来越短,让我们在一个足够接近兔子追上乌龟那一刻的时间点上看兔子追乌龟,从数字角度看距离可以不断的变小,时间可以不断的接近,所以我们自然觉得兔子总是追不上乌龟了。

  8. 用数学或者物理命题来诠释商业或生活问题,似乎是学理工科的人的习惯性思路。

  9. 9+0.999….=9.999….;这个算对吗?呵呵,好像不是公理,你在承认这个加法成立的时候就已经默认了1=0.99…;对这个题目没意见,只是觉得所有的证明其实都有点瞒天过海的混淆了有理数和无理数

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